數學物理方程（許蘭喜）（第二版）

第二版前言
本書于2016年出版以來，經過7年的教學實踐，在聽取讀者反饋的基礎上，本次修訂編者進行了以下幾方面的修改。
（1）修正了第一版中的一些打印錯誤。
（2）在第1章引入了受力“方向角”的定義，并把該處理方法應用到全書，該方法便于學生理解數學建模過程，更好掌握課程內容。
（3）第1章補充了多個自變量二階線性偏微分方程的分類。
（4）第5章在第一版中只介紹了具有軸對稱性的球函數，新版增補了一般球函數的內容和應用舉例，供有興趣的同學參閱。
（5）第6章增補了圓柱形區域內如何利用分離變量法求解三維拉普拉斯方程、三維波動方程以及三維熱傳導方程的定解問題，討論了Helmholtz方程在球形區域內的求解。
（6）第7章把求解有理函數的拉普拉斯逆變換與高等數學中的有理函數的不定積分求法對比，以此提高求有理函數拉普拉斯逆變換的速度。
另外，第二版在原有敘述的基礎上引入線性映射來定義線性微分方程；對偏微分方程的通解做了進一步補充；完善了達朗貝爾公式的物理意義。
在此感謝北京化工大學研究生院對本教材的支持，正是在研究生院教改項目的資助下本書修訂版才得以完成和出版。本書的修訂也得到了國家自然科學基金的資助，借此表示感謝。門曰陽老師在內容修改方面給我提出了許多建議，在此向他表示感謝?；瘜W工業出版社的編輯向我提供了許多支持、建議和鼓勵，在此表示感謝。
因水平有限，書中難免出現疏漏，繼續歡迎廣大讀者給予批評指正。

編者
2023年5月




前言
數學物理方程課程涉及的專業有：材料科學與工程、化學工程與技術、動力工程及工程熱物理、機械工程等近十個專業。目前數學物理方程的教材有很多，且各有特色。但是，隨著專業學位招生規模的不斷擴大，迫切需要一本適合工科專業學位研究生的“數學物理方程”教材或參考書，以適應新的教學需求。
工科數學物理方程的教學最直接的目標是使學生能夠應用數學知識解決工程中的實際問題，并由此提升他們學習數學的興趣。鑒于此，我們應該在實際教學中，結合學生所學專業，多舉一些有實際背景的例子。為此，本書在以下五個方面做了一些嘗試，希望能以此提升學生的學習興趣，提高學習效率，增強解決問題的能力。另外，本書的推導過程緊扣高等數學的內容，這樣學生更易理解。
本書特點如下。
（1）適當減少數學的推導證明。過多的數學推導會導致學生對該課程有恐懼感。大部分工科碩士生的數學基礎局限于高等數學，對于大篇幅的推導很不習慣，很排斥。過多的數學推導會使學生降低甚至喪失學習興趣，因此，本書針對工科學生的數學基礎刪除了不必要的證明。
（2）數學模型的導出更詳細。大部分的學生感興趣的是怎樣把具體問題轉化成數學問題。如果對導出過程講解不詳細，學生在應用中遇到實際問題時，不會建立數學模型，這樣很難提出科學問題，因此，本書在應用隔離物體法導出模型時，導出過程非常詳細。
（3）例題的求解過程更詳細。例題求解過程不詳細會直接導致多數同學覺得解題無從下手，沒有思路，不知如何計算，一算就錯。本書中所有例題的求解過程非常詳細，便于同學解題時參照。
（4）內容排版重點醒目突出。數學物理方程的內容多，同學課后看書抓不住重點，或找不到關鍵知識點，因此有必要在內容排版時突出主要知識點，做到一目了然。本書把關鍵知識點，主要定理和主要公式都用邊框加陰影加以標注。
（5）增加應用舉例。根據選課學生的專業增加了一些應用舉例，主要涉及材料工程、化學工程及信息與系統等方面的應用。
另外，本書在每一章開頭列出了本章的基本要求，例題分析，并且求解運算過程也非常詳細。每節后配有適量的習題，書后附參考答案和提示，便于讀者參照對比。貝塞爾函數比較抽象，為了便于讀者了解貝塞爾函數的基本性質，本書給出了一些貝塞爾函數的圖形。卷積在工程方面應用很廣，因此，本書對于卷積的介紹比較多，并盡量用卷積表示定解問題的解。另外，為了同學在學習中查找方便，本書在附錄中不僅附有傅里葉變換表和拉普拉斯變換表，而且還附有常用的數學公式（附錄Ⅰ）、常微分方程中常用的重要結論（附錄Ⅱ）以及傅里葉級數的主要結論（附錄Ⅲ）。
特別感謝北京化工大學研究生院對本書的支持，正是在研究生院教改項目的資助下本書才得以完成和出版。黃晉陽教授在內容組織上提出了許多建議，在此向他表示感謝。同時感謝我的研究生董利君同學，是他繪制了本書的所有插圖，并錄入了部分稿件內容。

編者
2016年6月

本書是根據工科碩士生的專業需求和數學基礎而編寫的數學物理方程教材。內容包括偏微分方程的基本概念，數學物理方程相關的背景，數學模型的建立與定解問題，定解問題的典型求解方法（求通解方法、行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數法以及數值求解法）。另外還介紹了勒讓德多項式、球函數和貝塞爾函數在求解定解問題時的應用。
本書模型導出過程詳細，與基礎數學課程聯系緊密，突出應用。本書可作為工科各專業高年級本科生、研究生的教材，也可作為工程技術人員的參考用書。

第1章 數學物理方程及其定解問題 1
1.1波動方程及其定解問題3
1.1.1波動方程的導出3
1.1.2典型定解條件6
1.1.3典型定解問題11
習題1.112
1.2熱傳導方程及其定解問題13
1.2.1熱傳導方程的導出13
1.2.2典型定解條件15
1.2.3典型定解問題17
1.2.4最值原理18
習題1.220
1.3位勢方程及其定解問題21
1.3.1位勢方程的導出21
1.3.2位勢方程的典型定解問題22
1.3.3最值原理23
習題1.324
1.4定解問題的適定性及數學物理方程的分類25
1.4.1定解問題的適定性概念25
1.4.2二階偏微分方程的分類25
習題1.428

第2章 線性偏微分方程的通解 29
2.1線性偏微分方程解的結構定理29
習題2.130
2.2常系數線性齊次偏微分方程的通解31
習題2.232
2.3常系數線性非齊次偏微分方程的通解32
習題2.335

第3章 行波法 36
3.1一維波動問題與達朗貝爾公式36
3.1.1無界弦的自由振動36
3.1.2齊次化原理37
3.1.3無界弦的受迫振動38
3.1.4達朗貝爾公式的物理意義43
3.1.5依賴區間、決定區域、影響區域44
習題3.145
3.2空間波動問題47
3.2.1函數的球面對稱性47
3.2.2齊次波動問題的泊松公式47
3.2.3非齊次波動問題的Kirchhoff公式53
3.2.4波動問題解的物理意義56
習題3.257

第4章 分離變量法 59
4.1Sturm-Liouville本征值問題59
4.1.1第一邊值條件的本征值問題59
4.1.2混合邊值條件的本征值問題60
4.1.3各類本征值問題小結及級數展開61
習題4.162
4.2波動方程的定解問題63
4.2.1齊次方程的齊次邊值問題63
4.2.2級數形式解的物理意義66
4.2.3非齊次方程的齊次邊值問題68
4.2.4非齊次方程的第一非齊次邊值問題73
習題4.275
4.3熱傳導方程的定解問題76
4.3.1齊次方程的第二齊次邊值問題76
4.3.2非齊次方程的第二齊次邊值問題77
4.3.3非齊次邊值問題79
4.3.4混合邊值問題舉例81
習題4.384
4.4拉普拉斯方程的定解問題85
4.4.1圓域內的第一邊值問題85
4.4.2矩形域內的第一邊值問題88
習題4.491

第5章 勒讓德多項式、球函數 93
5.1勒讓德多項式93
5.1.1勒讓德方程及其本征值問題93
5.1.2勒讓德多項式93
5.1.3勒讓德多項式的母函數與引力勢96
5.1.4勒讓德多項式的性質與勒讓德級數98
習題5.1102
5.2勒讓德多項式的應用103
習題5.2108
5.3球函數、連帶勒讓德方程109
5.3.1球函數與連帶勒讓德函數109
5.3.2連帶勒讓德函數和球函數的基本性質111
5.3.3球函數應用舉例114
習題5.3116

第6章 貝塞爾函數 117
6.1推廣的Γ-函數117
6.2貝塞爾方程的導出118
6.3貝塞爾方程的通解與貝塞爾函數120
6.4貝塞爾級數展開124
6.4.1貝塞爾函數的恒等式124
6.4.2貝塞爾函數的正交性125
6.4.3貝塞爾級數展開126
6.5貝塞爾函數的應用128
6.5.1圓形區域128
6.5.2圓柱形區域132
6.5.3球形區域135
習題6.5136

第7章 積分變換法 137
7.1傅里葉積分變換137
7.1.1傅里葉積分公式與傅里葉變換137
7.1.2傅里葉變換的基本性質141
7.1.3卷積142
7.1.4多重傅里葉變換145
習題7.1146
7.2拉普拉斯變換146
7.2.1拉普拉斯變換的定義147
7.2.2存在定理及性質148
7.2.3反演公式151
習題7.2157
7.3傅里葉變換和拉普拉斯變換的應用158
7.3.1一般定解問題158
7.3.2拉普拉斯變換在化學反應工程中的應用165
7.3.3拉普拉斯變換在材料科學中的應用170
習題7.3171

第8章 格林函數法 173
8.1δ-函數173
8.1.1δ-函數的定義173
8.1.2δ-函數的物理意義174
8.1.3廣義函數與δ-函數的數學性質175
8.1.4高維δ-函數178
8.1.5δ-函數的傅里葉變換和拉普拉斯變換178
8.1.6δ-函數及其傅里葉變換和卷積運算在通信工程中的應用180
習題8.1182
8.2格林公式及其應用182
8.2.1格林公式183
8.2.2應用舉例183
習題8.2184
8.3位勢問題的格林函數185
8.3.1格林函數的概念185
8.3.2位勢方程的第一邊值問題187
8.3.3用電像法求格林函數188
習題8.3191
8.4含時間問題的格林函數192
8.4.1波動方程的初值問題192
8.4.2熱傳導方程的初值問題196
習題8.4198

第9章 數值求解法 199
9.1波動方程的差分解法200
9.2熱傳導方程的差分解法201
9.3位勢方程的差分解法203
9.3.1同步迭代法204
9.3.2異步迭代法205
習題9.3207

附錄 208
附錄Ⅰ常用公式208
附錄Ⅱ線性常微分方程的通解214
附錄Ⅲ傅里葉級數216
附錄Ⅳ傅里葉變換表217
附錄Ⅴ拉普拉斯變換表218
部分習題參考答案221

參考文獻249