曲線分析與非線性函數的建立及應用

本書系統介紹理論函數、近似函數、經驗函數的求解方法，針對各種具體應用場景，用很多案例進行實際演示。不僅如此，本書提供的每一個案例的求解結果均全部采用MATLAB應用軟件或AUTOCAD應用軟件進行檢驗或驗證比較，偏差大小用Excel計算并明示。

在當今數據時代和數字經濟背景下，各行各業的發展和運營都離不開數據的指導和幫助。由數據指導至可視化【曲（直）線、曲（平）面、立體】指導再到變化規律（函數）的掌握是一種必然的發展方向。這是因為，掌握函數相當于掌握了某種變化規律，掌握了變化規律就掌握了事物（過程）更為本質的內容，這對于問題的解決，無疑有更為深遠的意義。掌握函數必將能夠為現實工作提供更準確、更可靠、更多的幫助。數據→可視化→函數的轉變，不僅是現實工作的需要，也是技術進步發展歷程的一種體現。進一步講，函數建立不僅具有廣泛的現實需求，也是科技發展的需要。
目前，國內外普遍采用數據關聯來解決現實問題，這類應用軟件及相關書籍不勝枚舉。在某些領域，在一定范圍內，采用數據-可視化來解決現實問題。比如，被國內外廣泛采用的數學軟件MATLAB、Mathematica、Maple等，以及在國外已經采用多年、國內近年來迅速發展、被廣泛應用于工程領域的BIM。在數據-可視化-函數等系列解決方案中以數據為基礎、以可視化為重點是這些應用（及其相關書籍）的基本特點，而在函數建立方面，功能比較單一，主要采用線性回歸擬合方法。本書提供了除線性回歸擬合（經驗函數求解方法之一）之外的非線性回歸擬合方法、近似函數求解方法、理論函數求解方法。因此，本書內容是數據-可視化-函數系列解決方案中函數解決方案的一種嘗試，是現有數據-可視化-函數系列解決方案的拓展和補充。
科研人員根據實驗數據，建立近似函數或理論函數，從而掌握研究對象的變化規律；一般工程（工業、農業、商業、服務業）研發或技術（管理）人員根據實踐統計數據，建立經驗函數或近似函數，從而更深程度地了解或掌握過程的變化情況，進而為過程控制、預測與決策、優化、經濟分析等工作提供依據和服務；統計人員根據統計數據，建立經驗函數或近似函數，為行業或部門（地區）的發展規劃、行政管理和日常管控等工作提供更有力的、更可靠的依據和幫助。
本書系統介紹理論函數、近似函數、經驗函數的求解方法，針對多種應用場景，用數十個案例進行實際演示。不僅如此，本書提供的每一個案例的求解結果均采用MATLAB應用軟件或AUTOCAD應用軟件進行檢驗或驗證比較，偏差大小用Excel計算并明示。換言之，每個案例的求解結果及偏差情況，讀者均可進行實際驗證。
任何方法的可行性、可靠性、有效性、實用性不能僅僅采用書面形式反映，更重要的是需要實踐的檢驗。唯有通過實踐檢驗的方法才是真正意義上的有效方法。因此，希望更多讀者能在閱讀此書的同時結合實際工作進行實際應用，以考察本方法的效果、識別方法的缺陷和不足，從而為改進和完善方法提供依據、積累經驗。
任何方法都不是完美的，每種方法都會存在利弊。通過函數途徑解決問題的基本思路是把問題當成確定性問題去解決，這與現實中很多問題具有不確定性是不相符的，這一點是在建函數解決現實問題時容易存在的一個盲區，從某種意義上說，是方法固有的一種缺陷。
本書所述的各類求解方法是基于一個假定——所有擬求數據是真實、可靠、準確、完整的。全套方法只承諾保證對給定數據（曲線）的求解結果的真實客觀性和確定性數據演繹（比如給定曲線內的插值推測）的準確可靠性，不承諾對由數據失真、錯誤、缺失以及求解之外的其他工作（比如不確定性數據推測）導致的其他問題負有任何責任，原始（給定）數據錯誤導致的后果和不確定性數據演繹的風險由使用者自行承擔。
由于作者水平有限，書中難免存在不足之處，希望讀者批評指正。

著者
2022年8月

本書主要介紹利用三個函數（完整二次函數、負高次冪函數、時間累計函數）求解現實曲線（數據）相應函數的方法，即解決現實函數的建立問題。前三章分別討論三個函數的基本性質，為函數求解及函數使用提供基礎性依據。后三章分別介紹現實中可能的三類函數，即理論函數、近似函數、經驗函數的求解方法。每章均分別以充實的例子演示各類函數的具體求解過程，一方面以驗證方法的可行、可靠和實用，另一方面，為讀者提供掌握各類求解方法的實際操作案例【只要讀者針對書中給出的案例，能夠逐一解出與本書一致的結果（或優于本書結果），本書所述現實函數的建立方法就基本掌握了】。
本書適合希望通過建立函數解決現實問題的各行各業從事科研、研發、統計、管理、技術工作的專業人士參考使用。

第1章完整二次函數1
1.1完整二次函數的基本介紹1
1.1.1完整二次函數的一般表達式1
1.1.2重要應用結論及推論1
1.2完整二次函數的形式2
1.2.1完整二次函數的形式分類2
1.2.2完整二次函數的基本應用形式3
1.2.3完整二次函數的形式轉化3
1.2.4兩個重要關系4
1.3完整二次函數的定義域、值域及相關問題4
1.3.1定義域4
1.3.2值域5
1.3.3其它顯函數定義域與值域5
1.3.4定義域與值域分析舉例6
1.3.5定義域與值域的組合及組合特點6
1.3.6無效完整二次函數的系數情況8
1.4完整二次函數的圖像9
1.4.1系數都不為零的完整二次函數圖像9
1.4.2B=0（或A=0）（其它系數均不為0）函數圖像15
1.4.3與圖像有關的主要結論16
1.5完整二次函數的單調性、周期性和奇偶性16
1.5.1單調性16
1.5.2周期性19
1.5.3奇偶性20
1.6完整二次函數的極限與連續20
1.6.1完整二次函數的極限20
1.6.2完整二次函數的連續21
1.7完整二次函數的導數、微分及相關問題21
1.7.1導數21
1.7.2微分23
1.7.3完整二次函數的極值問題24
1.7.4完整二次函數的凹凸與拐點問題24
1.8完整二次函數的積分24
1.8.1不定積分24
1.8.2定積分26

第2章負高次冪函數及通用函數30
2.1負高次冪函數及通用函數的基本介紹30
2.1.1負高次冪函數表達式30
2.1.2通用函數表達式30
2.1.3負高次冪函數可以準確表示數值對應關系的命題及證明31
2.1.4通用函數可以表示任意非負函數的命題、推論及證明32
2.1.5負高次冪函數與泰勒函數的本質差別37
2.2負高次冪函數及通用函數的定義域與值域38
2.2.1負高次冪函數的定義域與值域38
2.2.2通用函數的定義域與值域38
2.3負高次冪函數及通用函數的圖像38
2.3.1圖像的形成38
2.3.2變量對應值、函數、圖像的關系39
2.4負高次冪函數及通用函數的單調性、周期性、奇偶性39
2.4.1單調性39
2.4.2周期性41
2.4.3奇偶性42
2.5負高次冪函數及通用函數的極限與連續43
2.5.1負高次冪函數及通用函數的極限43
2.5.2負高次冪函數及通用函數的連續44
2.6負高次冪函數及通用函數的導數、微分及相關問題45
2.6.1導數45
2.6.2微分46
2.6.3負高次冪函數及通用函數的最大(最小)值問題46
2.6.4負高次冪函數及通用函數的凹凸與拐點問題47
2.7負高次冪函數及通用函數的積分49
2.7.1不定積分49
2.7.2定積分49

第3章時間累計函數及累計方法50
3.1時間累計函數的產生50
3.1.1引例50
3.1.2函數產生53
3.1.3累計的意義54
3.1.4函數中時間變量的廣義替換54
3.2時間累計函數的變量及常量56
3.2.1原始變量56
3.2.2表達式中的變量及常量定義57
3.3時間累計函數的常數確定58
3.3.1常數的主要類型58
3.3.2常數的選擇與確定59
3.4函數形式59
3.5函數圖像60
3.6函數的偏導數與全導數62
3.6.1一階偏導數62
3.6.2二階偏導數62
3.6.3全導數62
3.7函數全微分63
3.8函數中的變量關系63
3.8.1變化指標（x）與時間（y）的關系63
3.8.2原始變量（ξ）與累計值（z）的關系66
3.8.3原始變量（ξ）與時間（y）的關系66
3.8.4全微分求解變化指標函數x=h（y）67
3.9二次累計69
3.9.1二次累計的定義69
3.9.2二次累計與一次累計的聯系70
3.9.3二次累計與一次累計的案例比較70
3.10多次累計77
3.10.1多次累計的定義77
3.10.2三次累計與二次累計的案例比較78
3.11采用累計方法建立函數的基礎條件和判定標準85
3.11.1基礎條件85
3.11.2判定標準85
3.12非隨機變量案例85
3.12.1案例基礎資料（虛擬案例）85
3.12.2案例問題討論86

第4章理論函數求解91
4.1變量對應關系、函數、理論函數概念91
4.1.1變量對應關系概念91
4.1.2函數概念91
4.1.3理論函數概念91
4.2對應關系求解92
4.2.1用完整二次函數求解五組數據的變量對應關系92
4.2.2用負高次冪函數求解n組數據的變量對應關系94
4.3理論函數求解96
4.3.1理論函數求解引例96
4.3.2給定數值對應關系的理論函數求解98
4.3.3給定曲線的理論函數求解115

第5章近似函數求解1285.1概述128
5.1.1近似函數的基本概念128
5.1.2近似程度評價129
5.1.3近似函數求解的一般問題130
5.1.4近似函數求解的一般方法130
5.1.5近似函數求解需著重解決的問題130
5.1.6提高近似程度的途徑135
5.2給定函數的近似函數求解135
5.2.1利用完整二次函數求解給定函數的近似函數135
5.2.2利用負高次冪函數求解給定函數的近似函數136
5.2.3利用組合函數求解給定函數的近似函數137
5.3給定曲線的近似函數求解140
5.3.1用完整二次函數求解給定曲線的近似函數140
5.3.2用負高次冪函數求解給定曲線的近似函數144
5.3.3用通用函數求解給定曲線的近似函數145
5.3.4用多元素組合函數求解給定曲線的近似函數147
5.4給定變量對應值的近似函數求解153
5.4.1簡單光滑曲線的近似函數建立及求解154
5.4.2復雜光滑曲線的近似函數建立及求解158
5.4.3折線圖的近似函數建立及求解163

第6章經驗函數求解169
6.1概述169
6.1.1經驗函數的基本概念169
6.1.2可以（適合）建立經驗函數的情形169
6.1.3經驗函數求解的一般問題170
6.1.4經驗函數求解的一般方法170
6.2折線圖的經驗函數求解舉例173
6.3散布圖的經驗函數求解舉例179

參考文獻184